结式
定义¶
定义 1 (结式) 对于多项式 \(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0,\, g(x)=b_mx^m+\cdots+b_1x+b_0\)，\(f\) 与 \(g\) 的结式 (resultant) 为 $$ \operatorname{Res}(f,g) = \begin{vmatrix} a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 & & & \\ & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & a_n & a_{n-1} & \cdots & a_1 & a_0 \\ b_m & b_{m-1} & \cdots & b_1 & b_0 & & & \\ & b_m & b_{m-1} & \cdots & b_1 & b_0 & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & b_m & b_{m-1} & \cdots & b_1 & b_0 \\ \end{vmatrix}_{n+m} $$
依结式的定义，可以得到：
推论 1 \(\operatorname{Res}(f,g)=(-1)^{nm}\operatorname{Res}(g,f)\)．
推论 2 若 \(f\) 为首一多项式，则对于任意多项式 \(h\)，\(\operatorname{Res}(f,g)=\operatorname{Res}(f,g+hf)\)．
应用¶
引理 1 多项式 \(f,g\) 不互素当且仅当存在 \(u,v\) 使得 \(\deg u<\deg g,\, \deg v<\deg f\) 且 \(uf=vg\)．
依引理 1 与结式的定义，以下定理是显然的．
定理 1 多项式 \(f,g\) 不互素当且仅当 \(\operatorname{Res}(f,g)= 0\)．
定义 2 (形式导数) 对于多项式 \(f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\)，其形式导数 \(f'\) 为
定理 2 多项式 \(f\) 有重根当且仅当 \(\operatorname{Res}(f, f')=0\)．
附记¶
看起来多项式辗转相除应当比求行列式更快？
所以这玩意应该倒着用？